古代的阿拉伯和波斯音乐文化也是高度发展的，包括哲学、数学和文学都极其丰富，律学极其发达。阿拉伯人有一种“测音学”他们采用的生律方法一如“五度相生法”，只是他们是以产生的纯四度作为生律的基础，按四度依次相生而成各律。
无论各地区产生音律的方式有很大的差异，但人们的指向是一至的，那就是：对音律的认识是从“五度相生律”或采用“五度相生法”开始的，而且是在大至同一时期的不同地域产生和发展的。这是人们用“律学”把“音”进行了的理性归纳，历史的发现是这样惊人的相似，这难道不是一个非常奇特的事吗？是否可以这样想：人类最初的物质实践和探索发现是具有客观存在的普遍真理。
二、异途同果的发现反映着两种思维的差异
古希腊毕达哥拉斯的“五度相生律”和中国管仲的“三分损益律”方法，对音律得到共同的认识和取得统一的结果，但是由于生活在各自的历史文化中，他们产生发展的实践却有所不同。
（一）、在古希腊文化中音乐占有重要地位，公元前八世纪已经有了非常著名的《荷马史诗》，在古希腊的悲剧中，把音乐、诗歌、和舞蹈完美地合为一体。同时科学的发展，出现了许多哲学家同时也是卓越的科学家，物理学和数学家。毕达哥拉斯就是一位哲学家兼数学家，他认为“数是万物的本质，宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐的体系”。于是他运用数学的方法研究当时的音节定律。
他的理论方法是利用倍音列中的三倍音对二倍音的距离所产生的一律，也就是纯五度音为生律的标准，每隔五度相生一音，依此类推，即得到了：1-----5-----2------6-----3-----7-----4，然后再纳入一个八度中得到了1--2--3--4--5--6--7。他的实践方法是以一条弦开始，以后增加弦数，以取得所有的音。这是一种严格按照纯五度的高度而获得的一种律制。
在这里请注意他的思考起点是从“一”开始不断推进的，从一点出发，向上、向高、向远来寻找答案的。“一条弦”“一弦器”“一律”，在不断推进中增加数量的模式。这是一个非常清晰和严谨的逻辑，他反映出西方人的思维的直线性和程式化。另外，他研究的工具是数字，因此他们的关注点是在数字，以用数字来解释和得到音的奥秘为目的。在毕达哥拉斯学派认为：用五度相生可以得到音乐中所以的音，这源于他的“数是万物的本质”的理论，更多地强调了“音”的物理的客观属性。
（二）、中国在夏、商、周三代时期，创造出许多令世界惊叹的辉煌的艺术成就，青铜器、诗、歌、乐舞都发展到非常高的阶段，乐舞艺术在当时的社会生活中占重要地位。随在乐器的发展，人们对乐律的认识也进入到了数理研究的阶段。
中国古代律学史最早有记载的就是春秋时期（公元前770--476年）管仲的《管子·地员篇》，这里记载了有关三分损益律的论段：“凡将起五音凡首，先主一而三之，开以和九九，以是生黄钟小素之首以成宫，……”他的计算方法（1*3/4=9*9=81）这个数值反映振动体的长度比例，所得到的是“宫”音，相当今天的F，而C相当于“徵”音。因此，这种升律法所得到的五音是一种徵调式，是我国民族音乐中最主要的调式之一。他的生律原理和“毕达哥拉斯律制”的方法非常接近，也是利用倍音的关系求得，相邻两音间的音分值：大全音完全一样，都是204音分值，因为是五声律，所以他出现的五度律小三度294音分值，就是五度律小音阶的大全音和小半音之和（204+90=294），因此我们把这一律制统称为“五度相生律”。
我们的祖先在创造这一律制时，并不是从一出发的，而是从三开始，以三为物体长度的基准，加三分之一得一音，减三分之一又得一音。为什么要从三开始？中国人的确是有以“三”为重的习惯，凡事要：“三思而行”；看问题要“入木三分”就连琴曲中也有“三叠”“三弄”。这是一个开放性的思维，也是中国人考虑问题的高明之处。但是我认为这决不仅是一种思维定势的问题，他一定和古人定律的实践方法有关系。实际上以三为求律的标准已经找到了他的初始倍音，同时一损一益，一进一退与五度相生法有异曲同工之妙，他的思维模式又充满了中国传统的哲学思想，相抑相生，道法自然的奥妙蕴涵其中。在2000多年前我们的先人就有这样的智慧和建树是多么了不起。
另外古人在描述和解释“音”的音响现象也别具风格，《管子·地员篇》：“凡听徵，如负猪涿，觉而骇。凡听羽，如鸣马在野。凡听宫，如牛鸣茆中。凡听商，如离群羊。凡听角，如雉登木而鸣，音疾而清”。他把宫、商、角、徵、羽，按照音列由低到高的排列，用家畜的鸣声作比拟，非常形象地比喻了所有的“音”，给人们以更直观的感受，这是非常有想象力的。这也是古人在对自然界万物生灵的观察和逻辑思考上，用另外一种方式来说明这一律制理论的自然音乐形象。
为什么把这五个音节名叫“宫、商、角、徵、羽”，迄今还没有一个标准的答案，据说是出于我国古代的天文学中：“宫”是二十八星座所环绕的中心“中宫”即北斗七星。“商”东方青龙七宿中心宿中的主星。“角”东方青龙七宿中的角星。“徵”东方青龙七宿中的氏星。“羽”则是南方朱雀七宿星中的翼星。这种对神秘而深邃的宇宙遐想，应该原于对古老悠久的原始生态信仰。
在《乐记·乐本篇》中有“宫为君、商为臣、角为民、徵为事、羽为物”的说法，这是将五音与当时社会的封建等级制相比附，所产生出的另一个说法。
《吕氏春秋·适音》中有“……观其音则知其俗，观其俗则知其政，观其政则知其主矣。”这里又说明了一个重要的意思--中国自古音乐与政治就紧密相关。
“音”在中国古代社会中承载了多少人文信息，这是世界上任何国家都无可比的。
三、殊途同归是音律发展的特征
中国律学和欧洲律学都是以五度相生律体系开始，以十二平均律告一阶段。但是音乐的发展是与社会历史的发展以及不同地区的民族文化传统音乐实践密不可分，因此，各自所走过的道路也完全不同，发展到今天形成现在这样的音乐格局。
（一）、毕达哥拉斯的“五度相生律”对欧洲音乐的发展有着及其深远的意义，可以说“十二平均律”理论是在五度相生律的基础上发展起来的。欧洲音乐发展的非常显著的特点是，首先与他的器乐发展紧密联系；另外和他在历史进程中的文化变革中息息相关。
在古希腊音乐的单声音乐中，用“毕达哥拉斯律制”所得到的音形成的四音列具有极其重要的作用。他是古希腊最早的乐器“里拉琴”定弦的根据。一弦和四弦定为纯四度，然后在中间两弦做各种高度的变化，在音律上作各种细微的精密划分，从而形成不同的音乐风格。
到了中世纪，教会音乐同领当时的音乐领域，为基督教仪式上所用的：格里高利圣咏，将调式进行了发展，把两个四音列任意连接，就得到了不同组合的七声音节。例如：将e f g a和b c d e叠接起来就成为e f g a b c d e，这样的组合叫“利第亚调式”。他被称为“教会调式”。不同组合所形成的共有八种自然音调式。格里高利圣咏是第一部有乐谱记载的音乐文献。
中世纪又是一个从单声音乐向复调音乐发展的历史过程。约在公元九世纪，奥尔加农发现了在格里高利圣咏的下方纯4和纯5度增加一个平行音，产生了极大的音乐效果，这一尝试的发现和不断的沿展，以及随后出现的多声部音乐，以及中纪后期所形成的具有一定专业规模的复调音乐，成为文艺复兴以后音乐发展的重要源泉。
十四至十六世纪是欧洲的文艺复兴时期，意大利文艺复兴运动遍及欧洲，是一场深刻的思想意识变革，各种艺术形式（如建筑、绘画、文学等）体现在人文主义的精神，彰显着不同凡响的风格。复调音乐的出现和应用使人们注意到了纯率的音程，对纯率的探究成为这一时期的重要内容。纯律是在五度音程中再插入一个三度，使五倍音可以构成“纯律大三度”例如：在c------g之间插入e构成c---e---g构成大三和弦的三音1---3---5。同理在任何纯五度中都可以加入三音而构成不同的三和弦，在新升的三音所形成的五度音上又可以再生一个三度音，从而形成一个理论上可以无限扩张的音律网。当时的音乐家在音程的微观领域中做了大量的实践探索，他对于最终将和声的音乐材料规范在十二平均律中提供了丰富的音程选择和回归思维，在繁中求简，简中生繁，仿佛自然界在不断地重复着这条法则，事物就是在这样反复地变化和发展着。
十二平均律早在15世纪就有意大利音乐家加利莱伊在琉特琴上用99音分半音作试验构成接近十二律。在文艺复兴初期，西班牙音乐理论家拉莫斯发现，在“吉他”及类似乐器“维乌埃拉琴”的指板上都按照半音安装，用等比例的半音构成音节，他从中得到启发在1482年提了出十二平均律的理论。随后意大利著名音乐理论家扎利诺于1588年用计算的方法提出了十二平均律，随后还有许多科学家和音乐家进行了反复的演算和实践。
在十二平均律中，虽然个别音符并不是那么协和，但是他的规律性最强，最简便易懂，应用也最便利。这对于以主调音乐为主流的欧洲音乐，以大小调音程组织的和声进行和复杂的转调应用需求，提供了非常优越的便利条件。往往存在就是真理，这也许就是硬道理。主调音乐的和声的织体亦如欧洲绘画的立体表现有异曲同工之妙，他的和声进行的表现情绪亦同绘画中的那样宏大磅礴，疏缓恬静。十二平均律在欧洲音乐中得到了真正价值上的应用。这是实践的选择，是历史的选择。
（二）、中国的律学研究已经走过了2500多年的历史，从“三分损益律”的发现即拉开了中国音乐探究律学的大幕，在漫长的历史进程中，历朝历代都有研究者不段地丰富和发展着它。
“三分损益律”在《管子·地员篇》中只算到五律，他的音程和调式构造都很单纯，且不能回到起点。因此，历代对律学的研究归纳起来主要是从两个方面进行的：一是丰富音节；第二是还原到起点。但所有的工作都离不开音乐实践。
1、战国时期，吕不韦任秦国相国时，由门客所作的《吕氏春秋·律篇》把三分损益法的五律增加到十二律，即：
黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟。
f #f g #g a #a b c #c d #d e
这样就大大丰富了音程，扩大了调式范围，并可以在十二律上进行“旋宫”转调。但是从c开始用五度相生律上升12次，到 #b不等于c，而高出一个最大音差（24音分），即不能回到出发的律上以使十二律周而复始。
2、汉代时，（公元前206--公元220）郎中京房李明君提出“六十律”的律制，依然依照三分损益的方法在生到十二律时继续往下生律，一直生到六十律，使得最后一律的音差（f---e）缩小到（3.6音分）在理论上提供了通过一种微小的音差来回到起点的可能。 同时他创造了一种定律器，称为“准”，形如瑟，长一丈，“隐间”（振动弦长）九尺，有十三条弦，中央画有京房六十律的标记。他开创了用弦律器作律学实验的先例。
再以后，南北朝（公元420--589年）钱乐之沿京房的六十律继续生律，一直曾到三百六十律，使最后一律的音差达到更微小，（仅有1.845音分），这是在中国古代律学史上所达到的音律细分的最高程度。但是仍然没有完全解决还原的问题。
3、何承天，山东郯城县人，晋的代末和南北朝宋时，历任军政官府参军、御史中丞等职。他精通律学和历法，反对一味增加律数的做法，他提出了一个在十二律本身调整各律高度的方法，将差数十二等分，依次递加在原三分损益产生的十二律上，使十二律最后回到了出发律上。他的理论在中国律学史上是一个新的创造，也成为世界上最早用数字解决十二平均律的人。
何承天创造十二平均律之后还经历了一段探索期，有隋代的刘焯和五代的王朴都一直在十二律本身调整各律的长度，王朴还首创了缩小三分损益的分母数的生律方法，这种实践的积累给后人都颇有启发。另外宋代蔡元定的“十八律”的理论对于在一定范围内可以适应十二律旋为宫，在当时是有一定的实用价值的。
4、明代朱载堉发明的“新法密率”使他成为世界上最早根据数学推算出十二平均律的准确高度的人。根据李纯一先生考证，朱载堉在《律历融通》中已多次讲到他发明的新律，而《律历融通》之序作于万历九年（公元1581年），可以推断朱载堉发明此律制约在1581年，比西方人发明此律要早一百多年。
朱载堉，（1536--1612年）字伯勤，号曲山人。明代明室郑恭王厚院之子，是我国著名的律学家、数学家、史学家。从小随舅父何塘学习数学、律学和天文学。《明史》本传说他“笃学有至性”。后因皇族内讧，其父无罪入狱 ，由此注定了他带有悲剧色彩的传奇人生。
由于父亲的怨狱之灾，于是他就在宫门外筑了一间土屋，独居其中，以示抗议，等待父亲出狱。就这样一等就是十九年，在这期间，他布衣蔬食，发奋攻读，致力于乐律、历算之学的研究，撰写了大量学术著作。然而，父亲出狱后不久就去世了，他痛心疾首，放弃承袭皇族爵位，终身致力研究工作。苦难成就了一代大师，他的经历是那样的传奇。
他著书的《乐律全书》中总结了前人乐律理论，提出了“新法密率”，既今天的十二平均律，他提出的数据，与今天的十二平均律完全相同，这是对我国乃至世界律学史上的一项重大贡献。他是用什么方法来重新解释音的规律从而实现了上千年来人们都不能解释的难题那？
朱载堉在《律历融通》中提及他的计算方法“用勾股之术及开方之法”求其“新法密率”，“先置黄钟长十寸，在位下生者，五亿乘之为实。七亿四千九百一十五万三千五百三十八为法……”我可以看到，他已经将原来的上生五度的2/3比例变成500000000/749153538之比来进行运算，以上亿的数字运算在今天我们手中只要有一台计数器就可以作到了，但是在500多年前，人们还没有任何先进计算工具的条件下，他是怎样完成这样复杂数据的计算那？真是太了不起了。他给了我们一堆计算成果，即使在今天运算起来也是很不容易的事，我们从这些数据的背后看到了先贤们的艰辛和智慧，他们都是最伟大的音乐律学家、科学家，是中国辉煌历史文化的谱写者。
总之，中国的律制是一个不断充实和发展的过程，并不是一种律制出现另一种律制即消亡的简单过程，而是在不断发现、同生同长、共存共荣的过程。例如人们在音乐实践中产生发现的纯律音阶大大丰富了“五度相生律”的音阶和调式。纯律是可以让音节无限扩张的，纯律大音阶中有4个音（d f g c）和五度相生律法所得到的音是完全相同的，另有3个音（E A B ）和衍生出来的和弦音程的纯律音系网上的音，都鲜活地存在于民间音乐中，即使在十二平均律大行其道的今天，三分损益律”仍然是我国民族音乐的主要调式，而且对于三种律制的问题，著名的考古音乐学家杨荫浏先生认为三种律制在中国历史上都较早出现，而且有同时并用的情况。
四、其他
在这要说明的是，朱载堉计算的十二平均律与西方音乐的十二平均律虽然结果相同但方法却有所不同。
前者是从理论角度上来求解十二平均律的构成，首先是沿用五度相生律求出所有的数据，因为“五度相生律”不能回到原点的原因是因为是在相生12次后出现了一个最大音差，所以如果把每次相生的纯五度，都减去“最大音差的十二分之一”便回到了起点。他的方法是：先利用这个方法首先得到一个比纯五度小“最大音差的十二分之一”的“平均律五度”，再根据平均律五度律求出十二平均律的半音，于是就得到了八度之内的十二平均律各律。这又是一个理论推研的过程，他的基础是“五度相生律”，这体现了西方人从存在的现实出发服从于实践的需要，不断深入探询的逻辑精神。
朱载堉发明的十二平均律则是一个天才的创造，他没有受原有律制的束缚，而是别开新径，他把问题一下子就想到了终点，因为十二平均律最后达到的八度（频率比2），只要2开12次方就可以得到与频率比相应的数据，“平均律半音的频率倍数”，再用这个频率倍数连续自乘12次，就得到了各律的频率倍数，再往下一切问题就迎刃而解了。从来都说中国人聪明，那就是因为我们有积淀厚重的传统哲学，他在先人的创造中起着奇妙的作用。朱载堉是明代人，我国在明代时期还处于没落的封建社会和资本主义萌芽时期，但是西方是自然科学开始输入，中西科学得以交融。这也是推动朱载堉创造“新法密率”的时代大背景。
朱载堉虽然是第一个用数学推算出十二平均律的准确高度的人，但是他的成就在当时并没有引起统治者和社会的重视和支持，更没有很好地得以应用。同时，因为我国的民族音乐大部分都是采用传统的五声调式，基本上是用三分损益和纯律的音节，应用十二平均律的音乐实践还很缺乏，因此他的发明仅被作为一种成果被搁置了。而是在遥远的西方却真正派上了大用场，以十二平均律为基础的大小调音乐体系已经成为全世界的音乐主流，在不能不说是一种巨大的贡献。
用数字来解释音乐，他让我们认识了音符内在的奇妙。我时常在想：人类在各自不同的历史进程中都发明了自己的语言、文字，而这些语言和文字是千差万别的，许多我们是听不懂也看不懂的，但是由于表达的意思是一致的，在认同共同意思的前题下，人们可以相互沟通交流。而音乐并没有这样复杂，人们最初对的音符确立直到今天的普遍应用都是一样的，全世界的人唱的音符都是douruaimi fa soula ti。
所以，音乐是一种感觉，一种精神感知，人类的感觉是相通的，虽然有着：社会、历史、民族、宗教、文化信仰的诸多差异；但是音乐语汇是相通的。人们用音符编织无数美丽动人的旋律情绪，而这种情绪被人们普遍认同，这就是音乐的魅力。音乐的语汇不必象语言指向那样精确。但是音符的律学数字化精确程度又那样令人惊叹！这就是我在梳理学习“律学”的文字中读出的感觉。
学习肤浅，敬请斧正。
作者简介：
黄文懿，“文一琴舍”馆长，先师从著名古琴大师龚一先生学习古琴演奏；后入中国音乐学院古琴专业师从著名古琴大师、教育家、博士生导师吴文光先生学习古琴。
作者简介：
黄文懿，“文一琴舍”馆长，先师从著名古琴大师龚一先生学习古琴演奏；后入中国音乐学院古琴专业师从著名古琴大师、教育家、博士生导师吴文光先生学习古琴。
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